Рассмотрим задачу о гравитационном поле точечной массы с учетом массы самого поля. Известно, что плотность энергии гравитационного поля равна W=-g^2/4*Pi*G. То есть плотность гравитационного
поля отрицательная и рана -g^2/4*Pi*G*c^2. Запишем теорему Гаусса для гравитационного поля точечной массы
Отсюда можно записать дифференциальное уравнение для напряженности гравитационного поля, или ускорения свободного падения.
и получить классическую формулу закона гравитации Ньютона
Если же предположить, что масса гравитационного поля не отрицательная, а положительная, то есть плотность гравитационного поля равна g^2/c^2
то дифференциальное уравнение для поля точечной массы примет вид
И его решение будет
В нем три раза встречается отрицательный аргумент у функции извлечения квадратного корня, то есть для положительной массы гравитационного поля точечной массы
дифференциальное уравнение не имеет решения.
Однако, если как следует разобраться, то окажется, что данное решение этой задачи некорректно.
График полученной функции будет иметь следующий вид
Из графика видно, что вблизи материальной точки, обладающей массой, которая создает это поле, гравитационное поле перестает быть непрерывным,
разбиваясь на бесконечное множество энергетических сфер. А если попытаться вычислить энергию, заключенную в одной такой сфере
(заштрихованная область на графике), то окажется, что она бесконечна, интеграл расходится.
И это связано с тем, что при решении данной задачи скорость света полагалась постоянной.
Если применить формулу c^2=-Ф, то плотность гравитационного поля будет ro=g^2/4*Pi*G*Ф и начальное уравнение примет вид
Далее, если продифференцировать обе части уравнения и учесть, что
то уравнение примет вид
К сожалению, аналитически решить это уравнение у меня не получается.